a) Xét phương trình : \(f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0\)

 Ta có : \(\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos2a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2\), \(a\ge0\) với mọi a

Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0\) (Vô lí)

Vậy \(\Delta'>0\) 

với mọi a \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Theo Viet ta có \(x_1+x_2=3\sin a-\cos a\)

                             \(x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)\)

\(x^2_1+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a\)

              \(=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2=18-\left(3\sin a+\cos2a\right)\le18\)

Đáp án D

Ta có:

f ' x = x 2 − 2 m + 1 x + m − 2 ⇒ Δ ' = m + 1 2 − m − 2 = m 2 + m + 3 > 0  

hàm số đã cho luôn có hai cực trị tại x 1 , x 2  thõa mãn:

x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 x 2 = m − 2

Ta biến đổi PT:

x 1 2 + x 2 2 = 18 ⇔ x 1 + x 2 2 − 2 x 1 x 2 = 18 ⇔ 4 m + 1 2 − 2 m − 2 = 18 ⇔ 4 m 2 + 6 m − 10 = 0 ⇔ m = 1 m = − 5 2

Đáp án A

     Em có: y ' = − 3 x 2 + 6 x + 6 , Δ ' = 27 > 0.  

     => Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  x 1 , x 2 .

Theo Vi-ét em có  x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = − 2 ⇒ S = x 1 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 − 2 x 1 x 2 = 8.

Chọn D

D = ℝ  

Phương trình y ' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ,   x 2 và y ' đổi dấu khi x  chạy qua x 1 ,   x 2  

nên hàm số đạt cực trị tại  x 1 ,   x 2 .

Phương pháp trắc nghiệm:

Bước 1: Giải phương trình bậc hai :

Bước 2: Tính A 2 + B 2 = 8  

\(f'\left(x\right)=4x^3\Rightarrow g\left(x\right)=4x^3-3x^2-6x+1\)

\(g'\left(x\right)=12x^2-6x-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2=-\dfrac{1}{2}\\x_1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow g\left(-\dfrac{1}{2}\right).g\left(1\right)=\dfrac{11}{4}.\left(-4\right)=-11\)

\(y'=\left(6x^5-6\right)f'\left(x^6-3x^2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\f'\left(x^6-3x^2\right)=0\end{matrix}\right.\) trong đó \(x=1\) bội lẻ

\(f'\left(x\right)=0\) có các nghiệm \(x=-2;0;2;a;6\)

\(\Rightarrow f'\left(x^6-3x^2\right)=0\Leftrightarrow\) 5 trường hợp:

\(x^6-3x^2=-2\) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)^2\left(x^2+2\right)=0\) có 2 nghiệm \(x=-1\) (bội chẵn) và \(x=1\) (bội chẵn)

.... làm tương tự

Riêng với \(x^6-3x^2=a\) thì dựa trên BBT của \(y=x^6-3x^2\) ta thấy pt này có 2 nghiệm đều bội lẻ khi \(4< a< 6\)

Đếm số nghiệm bội lẻ là được